虚数，即俗称的负数开平方，特别的是，虚数是有单位的，其单位写作“负1开平方”，记作i，即i=负1开平方。复数，即俗称包含虚数的数，代数式写作a+bi,其中a、b为实数；a称为实部，bi称为虚部。
　　
　　人类至少在上古时代，已经会求解一些一元二次方程了，例如：四千多前的古巴比伦人。与减法运算引出了负数，有点类似，在求解包括一元二次方程在内的高次方程时，一定会出现负数开平方的问题。负数开平方的数，后来被称之为虚数，“虚数”这个名称是17世纪法国数学家笛卡尔（ReneDescartes，公元1596——1650年）创造的。虚数至少在17世纪，还是被认为没有意义的。例如：牛顿（IsaacNewton,公元1643——1727年）等人。因此，人们总是回避负数开平方的问题，即使在求高次方程的根时，遇到负数开平方，通常采取放弃。例如：4000年前的古巴比伦，1700年前的古希腊人，800年前中古时的印度人等。
　　
　　诞生于纪元初左右，我国的数学著作《九章算术》中，已经有了二次方程的问题，并且给出了一些一元二次方程的求根过程。事实上，只要涉及到一元二次方程的求根，必然会涉及到复数，《九章算术》中没有复数，并且在以后的数学书中，也没有复数。由此推断，我国古代的数学家，也是放弃负数开平方的。
　　
　　值得一提的是，是一件非常有趣的事，那就是古希腊的代数学家丢番图（Diophantus，公元200年左右——284年左右），在解高次方程时，只接受有理根，而放弃其它的根。这也许是因为当时的西方，还不承认无理数，负数，复数的缘故。其实，毕达哥拉斯定理的代数式，就是一个一元二次方程，而这个直角三角形斜边的长，则是这个一元二次方程的根，古人取其正根是对的，负根在这里没有意义。
　　
　　古希腊的丢番图是一个纯粹数学家，他在对数的认识上，还是受到了直观的影响，如几何的直观。他考虑了高次方程根的实际意义，而忽略了数学上的意义。处于同时代的我国数学家刘徽，一定也遇到过负数开平方的问题，但在刘徽先生的数学中，也没有负数开平方的记载。或许刘徽先生也是放弃的。
　　
　　随着公元5世纪西罗马帝国的灭亡，欧洲诸国进入了，被史学家称之为“中世纪黑暗”的时代，社会发展十分缓慢。到了16世纪的中叶，欧洲在“文艺复兴”中，摆脱了“中世纪黑暗”。此时，正当欧洲人兴高采烈地继承了古希腊数学，并且予以发展时，同样也被负数和无理数困惑的不知所措。与此同时，他们在解一元二次方程时，有人新发现，例如：意大利数学家卡当（JeromeCardan，公元1501—1576年）发现了，如果二次方程中的系数和常数，推广到任意数时，求出的解，有时会出现a+bi形式的数。显然，a+bi形式的数是一种新的数，其中bi是虚数。人们对于古老的负数和无理数问题还未解决，新的问题却出现了。人类在认识的道路上，真是充满了坎坷和挑战。
　　
　　我国古代，自从西汉刘彻采用了董仲舒的儒家学说，国人的思想逐渐被禁锢了起来，两晋以后愈演愈烈，社会发展开始缓慢，一直到近代被洋人的大炮打醒为止。二汉以后的数学，虽然在计算上有许多成就，例如祖冲之的圆周率、工程问题中数学。但在理论方面，几乎没有超过刘徽先生。虽然，刘徽先生以后的数学，同样有涉及求高次方程根的问题，或许因为实用的缘故，或许因为思想进一步被禁锢的缘故，例如：北、南宋时期发展出的程朱理学，所以始终没有负数开平方的记录。也就是说，我国古代数学始终在《九章算术》和刘徽的《九章算术注》及《海岛算经》中徘徊，始终停留在算术的层面上。
　　
　　欧洲人在中世纪，由于宗教思想的束缚，在数学上几乎没有贡献，欧洲文明也处于停滞状态。14世纪以后，由于“文艺复兴”，欧洲的社会开始发展了。他们似乎不再害怕什么，他们勇于接受他们从未接触过的文明，勇于面对新的发现，尽管某些发现，虽然有点“莫名其妙”，如：意大利数学家卡当发现的复数，但卡当先生却乐意地接受了下来。在卡当先生以后的二百多年里，人们为了寻求复数在逻辑上的合理性，做了不少工作，终于在19世纪全面认识了复数。于是建立了复数系，其一般形式为a+bi，其中a与b是实数，i是虚数单位。与此同时，人类在认识复数的过程中，产生出了一个新的数学分支，即复变函数理论。
　　
　　负数的出现是由于算术，算术中的减法，无理数的出现也是由于算术，算术中的开方，这些都是古代国人已知的，并为之寻求定义以及计算方法，如刘徽先生的十进小数计算。不过，在古希腊的毕达哥拉斯先生登场之前，没有人予以证实，无理数是一种新的数。无理数的证实，是源自于古希腊的几何学，是古希腊毕达哥拉斯学派中的希帕索斯先生，他因此而付出了生命。而复数的出现，则完全来自于代数，来自于代数中求高次方程的根。
　　
　　我国古代的春秋战国，是一个竞争活跃的时代，也是一个社会分化的时代。诸子百家的学说，在这个时代里争前恐后。如果说孔子、孟子、荀子的儒家学说是这个时期，人文哲学的最高成就。那么《九章算术》是国人，从上古至东汉以前，数理哲学和计算方法的最高成就。《九章算术》与孔子、孟子、荀子的儒家学说一样，对后人和以后的周边国家，都有很大影响。然而，在长达二千多年之久的帝皇专制的国度里，国人终于没能在《九章算术》及《九章算术注》的基础上，跨出一大步。
　　
　　二0一二年三月